El tercer problema de la semana pasada tiene el interés añadido de que, siendo un típico problema de grafos, se puede resolver de forma más rápida y simple prescindiendo de ellos. El elegante grafo de 9 nodos al que da lugar (¿por qué 9 si son 10 las personas implicadas?) sin duda facilita la visualización del problema; pero es tan innecesario como dibujar un triángulo cuyas medidas conocemos para calcular su área.
¿Puedes deducir cuántos hombres y mujeres hay en una reunión a partir de los saludos intercambiados?
El tercer problema de la semana pasada tiene el interés añadido de que, siendo un típico problema de grafos, se puede resolver de forma más rápida y simple prescindiendo de ellos. El elegante grafo de 9 nodos al que da lugar (¿por qué 9 si son 10 las personas implicadas?) sin duda facilita la visualización del problema; pero es tan innecesario como dibujar un triángulo cuyas medidas conocemos para calcular su área.
Puesto que Blas averigua que los otros 9 invitados han estrechado cada uno un número distinto de manos, y dado que nadie saluda a su pareja dándole la mano (salvo, tal vez, al finalizar un trámite de divorcio amistoso), sabemos que estos números son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8; en total, 36 apretones de manos (en puridad, 18 apretones con 2 acciones manuales individuales cada uno). Obviamente, quien ha apretado manos 8 veces es la pareja de quien no lo ha hecho ninguna vez, ya que ha tenido que apretar las manos de todos los que no son su pareja para completar su octeto. Y, análogamente, la pareja de quien ha estrechado 7 manos es quien ha estrechado 1; la de quien ha estrechado 6, quien ha estrechado 2; y la de quien ha estrechado 5, quien ha estrechado 3: 32 apretones (acciones manuales individuales) entre las cuatro parejas, por lo que los 4 que faltan para llegar a 36 son los correspondientes a Ana.
Y he aquí la solución de nuestro asiduo comentarista Francisco Montesinos al primer problema:
“Sea A un conjunto de n personas relacionadas y x una cualquiera de ellas. Sea A(x) el subconjunto formado por los amigos de x y card A(x) su número de elementos. Cuando x recorre A, card A(x) toma n valores, pero solo puede tomar como máximo (n-1) valores diferentes: 0, 1, 2… n-2 o 1, 2… n-1, puesto que si existe un cierto x en A sin amigo s y card A(x) = 0, no puede haber un x* amigo de todos y card A(x*) = n-1 y recíprocamente. A mi entender esto lo dice todo si se supone una relación de amistad recíproca”.
Otra forma de abordar el problema, a medio camino entre la inducción y la CVA (Cuenta de la Vieja Avanzada), podría ser la siguiente:
En un grupo de dos individuos, o son amigos entre sí o no los son, por lo tanto, ambos tienen el mismo número de amigos: uno o ninguno. Si añadimos otro individuo a un grupo de dos en el que ambos son amigos, será amigo de uno, de ambos o de ninguno, y en todos los casos sigue habiendo al menos dos con el mismo número de amigos. Y lo mismo ocurre si añadimos otro individuo a un grupo de dos que no son amigos entre sí. Por lo tanto, en cualquier grupo de tres individuos hay al menos dos con el mismo número de amigos (las posibilidades, aunque no equiprobables, son: 000, 011, 112, 222). Si añadimos un cuarto individuo… ¿Hay una pauta que (de)muestra que siempre habrá al menos un empate?
Besos y abrazos
No se puede hablar de besos y abrazos en una sección de matemática recreativa sin recordar un clásico como el siguiente:
La familia Hernández se encuentra con la familia Fernández y cada miembro de la una saluda a cada miembro de la otra según la costumbre tradicional entre personas bien avenidas: cuando se saludan dos hombres, se dan un abrazo, y cuando se saludan dos mujeres o un hombre y una mujer, se dan un par de besos. En total, se producen 24 abrazos y 132 besos, ¿cuántos hombres y mujeres hay en cada familia?
Y otro clásico sobre saludos, este más sencillo:
En una reunión muy formal, todos los asistentes se dieron la mano, y hubo en total 66 apretones, ¿cuántas personas había?
Y, como colofón, uno a escala planetaria:
Todas las personas del mundo que a lo largo de su vida han estrechado manos alguna vez, lo han hecho un número par o impar de veces. Pues bien, sin necesidad de contarlas, podemos afirmar que el número de personas que han estrechado un número impar de manos es par. ¿Por qué?
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