El tablero inagotable

La estimación de la altura de una maqueta de la torre Eiffel, propuesta la semana pasada, es uno de esos casos en los que el OBC (ojo de buen cubero) suele fallar estrepitosamente. La mayoría de las personas preguntadas estiman que una maqueta de hierro de un kilo tendría más o menos el tamaño de una botella de litro convencional, cuando lo cierto es que su altura sería de alrededor de un metro y medio. Y es que, vista desde nuestra diminuta perspectiva humana, la torre Eiffel es una enorme masa de hierro, pero en realidad se trata de una estructura sumamente grácil.

Redondeando, la torre Eiffel mide unos 300 metros de altura y pesa unas 8000 toneladas, o sea que es 8 millones de veces mayor que una maqueta de hierro de un kilo y, por tanto, 200 veces más alta (200³ = 8000000). Luego la altura de la maqueta sería 300/200 = 1,5 m aproximadamente.

Donde más suele fallar el OBC es en las estimaciones relacionadas con procesos de crecimiento exponencial, es decir, con las progresiones geométricas. El ejemplo más conocido es el del mítico inventor del ajedrez que pide como recompensa un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. No es fácil imaginar que con los granos correspondientes a las 64 casillas del tablero se podría cubrir la península Ibérica con una capa de trigo de varios metros de espesor. O que doblando un folio 43 veces seguidas se obtendría un grosor similar a la distancia de la Tierra a la Luna.

Por cierto, ¿sabes por qué las progresiones geométricas se llaman así? ¿Y las aritméticas? Y si no lo sabes (que es lo más probable), ¿se te ocurre alguna explicación razonable?

El damero y sus variantes

Hablando del tablero de ajedrez y sus variantes, inagotables soportes de acertijos de todo tipo, me acuerdo de uno que me envió no hace mucho un amigo, vagamente emparentado con el clásico problema de las 8 damas (colocar 8 damas en un tablero de ajedrez vacío de forma que ninguna de ellas amenace a ninguna otra). Se trata de disponer 18 fichas en un tablero de 6×6 de manera que en cada fila, en cada columna y en las dos diagonales, haya 3 y solo 3 fichas.

¿Se puede generalizar el problema a otros tableros de un número par de casillas?

En el tablero trivial de 2×2, es evidente que no podemos colocar 2 fichas de acuerdo con las condiciones del problema: o están en casillas contiguas o en diagonal.

En un tablero de 4×4, ¿podemos colocar 8 fichas de forma que haya 2 en cada fila, columna y diagonal?

En el tablero de ajedrez convencional, de 8×8, ¿podemos colocar 32 fichas de forma que haya 4 en cada fila, columna y diagonal?

Más difícil todavía:

¿Se puede demostrar que en todo tablero de 2nx2n, siendo n cualquier número natural mayor que 1, podemos disponer 2n² fichas de forma que haya n en cada fila, columna y diagonal?